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Comment faire une décomposition LU ?

Définition: La factorisation LU consiste à écrire une matrice A ∈ Mm,n comme le produit de deux autres matrices L ∈ Mm,m et U ∈ Mm,n avec • L est une matrice triangulaire inférieure ayant des 1 sur la diagonale, • U est une matrice triangulaire supérieure. seconde équation et on détermine −→ x .

Comment montrer qu'une matrice admet une décomposition LU ?

Si A est une matrice carrée de taille n , on appelle décomposition LU de A toute écriture de A sous la forme A=LU A = L U , où L est une matrice triangulaire inférieure avec des 1 sur la diagonale et U est une matrice triangulaire supérieure.

Quels sont les valeurs propres d'une matrice ?

Les valeurs propres d'une matrice sont les racines du polynôme caractéristique, ce sont des valeurs qui permettent de réduire les endomorphismes associés.

En conséquence comment trouver les valeurs propres d'une matrice ?

Voici le résultat fondamental pour déterminer les valeurs propres.

Proposition 1. Soient A ∈ Mn() et λ ∈ . Alors : λ est une valeur propre de A ⇐⇒ det(A− λIn) = 0.
Rappel : In est la matrice identité de taille n × n; quel que soit le vecteur X ∈ n, In · X = X. Démonstration. λ est une valeur propre de A.
⇐⇒

Quelles sont les valeurs propres ?

Valeur propre

sont les racines de leur polynôme caractéristique commun, det(XId – u) = det(XI_n – A) ;
sont toutes les valeurs spectrales de u (ou de A) : les éléments de leur spectre commun.

Quel est le déterminant d'une matrice ?

Le déterminant d'une matrice est égal à celui de sa transposée : si M ∈ Mn(R), alors det(M) = det(tM).

Comment calculer le déterminant d'ordre n ?

Si dans une matrice on ajoute à une ligne un multiple d'une autre ligne, le déterminant ne change pas. Si A est une matrice carrée d'ordre n, on a det(A)=det(At). Si A et B sont des matrices carrées d'ordre n, on a det(A⋅B)=det(A)⋅det(B).

Comment calculer le déterminant d'une matrice d'ordre 2 ?

Le déterminant d'une matrice diagonale ou triangulaire (supérieure ou inférieure) est égal au produit des termes de la diagonale principale. Comme pour les déterminants d'ordre 2, la valeur du déterminant est égale au produit des termes de la diagonale principale.

Aussi comment savoir si une matrice est inversible déterminant ?

Si les coefficients d'une matrice carrée sont pris dans un anneau commutatif K, cette matrice est inversible si et seulement si elle représente un isomorphisme de Kⁿ, ce qui se traduit par un déterminant inversible.

En gardant cela à l'esprit, comment savoir si une matrice est inversible avec le déterminant ?

caractérisation d'une matrice inversible

Elle est inversible si et seulement son déterminant est non nul. De plus si est inversible, det ( M − 1 ) = [ det ( M ) ] − 1 .

Par Bannerman Cynova